Trigonometri 1

tarafından **DarK_DéaTh_!nFaZ** Çarş. Kas. 11, 2009 9:18 pm

I. AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
A. AÇI
Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir.

B. YÖNLÜ AÇI
Bir açının kenarlarından birini, başlangıç kenarı; diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir.
Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı yazılır.

Kural
Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır.
Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir.
Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.

C. YÖNLÜ YAYLAR
Trigonometri 1 05_Tri1

O merkezli çemberde Trigonometri 1 05_Tri2

ile bu açının iç bölgesindeki noktaların kümesinin O merkezli çemberle kesişimi AB yayıdır. AB yayı, Trigonometri 1 05_Tri3

biçiminde gösterilir.
Trigonometri 1 05_Tri3

nın yönü olarak, AOB açısının yönü alınır. Şekildeki AOB açısının yönü pozitif olduğundan, Trigonometri 1 05_Tri3

da pozitif yönlüdür.
Pozitif yönlü AB yayında A ya yayın başlangıç noktası, B ye yayın bitim noktası denir.

D. BİRİM ÇEMBER
Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.
Trigonometri 1 05_Tri4

Birim çemberin denklemi:
x2 + y2 = 1 dir.

E. AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlanmalıdır. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.
Genellikle iki birim kullanılır. Bunlar; derece ve radyandır.

1. Derece
Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile gösterilir.

2. Radyan
Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

Uyarı

Birim çemberin çevresi 360° veya 2p radyan olduğu için, 360° = 2p radyan dır.

Kural

Derece D ile radyan R ile gösterilirse,

F. ESAS ÖLÇÜ
Trigonometri 1 05_Tri6

olmak üzere, birim çember üzerinde a açısı ile
a + k × 360° açısı aynı noktaya karşılık gelmektedir. Buna göre,
Trigonometri 1 05_Tri7

olmak üzere, ölçüsü
a + k × 360°
olan açının esas ölçüsü a derecedir.
Trigonometri 1 05_Tri8

Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü [0°, 360°) aralığındadır.
Trigonometri 1 05_Tri8

Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı 360° ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.
Trigonometri 1 05_Tri8

Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri 360° ye bölünür; kalan 360° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.
Trigonometri 1 05_Tri8

Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2p nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür.
Trigonometri 1 05_Tri8

Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2p den çıkarılır.
Trigonometri 1 05_Tri8

nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir. a sayısı b nin 2 katına bölünür. Kalan p nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır.
a nın b nin 2 katına bölümünden kalan k ise Trigonometri 1 05_Tri9

nin esas ölçüsü dir.

II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
A. KOSİNÜS FONKSİYONU
Bir x reel sayısını cosx e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.
Trigonometri 1 05_Tri10

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı Trigonometri 1 05_Tri11

olmak üzere, P noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kosinüsü denir ve cosa ile gösterilir.
Trigonometri 1 05_Tri12

x = cosa dır.
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her Trigonometri 1 05_Tri13

için,
–1 £ cosa £ 1 dir.

B. SİNÜS FONKSİYONU
Bir x reel sayısını sinx e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.
Trigonometri 1 05_Tri14

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı Trigonometri 1 05_Tri15

olsun. P noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının sinüsü denir ve sina ile gösterilir.
Trigonometri 1 05_Tri16

y = sina
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her Trigonometri 1 05_Tri17

için,
–1 £ sina £ 1 dir.

Sonuç
Şekilde,
A(1, 0) olduğundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 dır.
B(0, 1) olduğundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.
C(–1, 0) olduğundan, cos180° = –1 ve sin180° = 0 dır.
D(0, –1) olduğundan, cos270° = 0 ve sin270° = –1 dir.

Kural
Şekilde,
x = cosa, y = sina
|OK| = sina ve
|OH| = cosa olduğuna göre, OHP dik üçgeninde;
|OH|2 + |PH|2 = 12
cos2a + sin2a = 1 dir.

C. TANJANT FONKSİYONU
Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı Trigonometri 1 05_Tri18

olsun. [OP nın x = 1 doğrusunu kestiği T noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının tanjantı denir ve tana ile gösterilir.
x = 1 doğrusuna tanjant ekseni denir.
Trigonometri 1 05_Tri19

t = tana dır.

D. KOTANJANT FONKSİYONU
Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı Trigonometri 1 05_Tri20

olsun. [OP nın y = 1 doğrusunu kestiği K noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kotanjantı denir ve cota ile gösterilir.
y = 1 doğrusuna kotanjant ekseni denir.
Trigonometri 1 05_Tri21

c = cota

Sonuç

(T.sız: Tanımsız)

Koordinat Sisteminde, Birim Çemberdeki Dört Bölgeye Göre Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlarının İşaretleri

Kural